##### 微分方程 - 微分方程 - **微分方程**是表示函数及其导数或微分与自变量之间关系的[[方程]], 微分方程的阶数指方程中函数导数的最高阶, 微分方程的解是使方程成为恒等式的函数, 求解微分方程是最重要的主题 - $F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0$, 设 $y=y(x)$ 在区间上连续且有直到 $n$ 阶的导数, 并且能使 $F\equiv0$, 则称 $y(x)$ 为该微分方程在区间上的一个解 - 微分方程分类 - 函数变量 - [[常微分方程]], 涉及一个独立变量和其导数, 如 $y+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-5x=0$ - [[偏微分方程]], 涉及多个独立变量和它们的偏导数, 如 $\frac{\partial u}{\partial t}+t\frac{\partial u}{\partial x}=0$ - 线性条件 - [[线性微分方程]], 函数及其导数次数均为一次, 如 $y'''+4y''+8y'+9y=0$ - [[非线性微分方程]], 不满足线性条件的微分方程, 如 $(y''')^2+4y''+8y'+9y=0$ - 方程阶数 - [[一阶微分方程]], 最高阶 $1$ 阶 - [[二阶微分方程]], 最高阶 $2$ 阶 - [[高阶微分方程]], 最高阶 $n$ 阶 - 微分方程求解 - 解的类型 - 通解, 包含所有可能的解的函数族, 通常包含任意常数 - 特解, 通过给定初始条件或边界条件确定的唯一解 - 奇解, 不能通过通解中的任意常数取值得到的解 - 求解条件 - 初始条件, 在某一特定点给出函数及其导数的值 - 边界条件, 在区间的端点给出函数及其导数的值 >[!example]- $\displaystyle\frac{dy}{dx} = xy$ > - 分离变量 $\displaystyle\frac{1}{y}\text{d}y = x\text{d}x$ > - 两边积分 $\displaystyle\int\frac{1}{y}\text{d}y = \int x\text{d}x \Rightarrow \displaystyle \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C\Rightarrow |y|=e^{\frac{x^2}{2} + C}=e^C\cdot e^{\frac{x^2}{2}}$ > - 记 $C'=e^C$ 则 $\displaystyle y = \pm C' e^{\frac{x^2}{2}}$ > - 解出通解 $\displaystyle y = C e^{\frac{x^2}{2}}$