##### 恒等算子 - 恒等算子 - **恒等算子** $I$ 是将[[向量空间]]中每个元素都映射到该元素本身的[[线性算子]], 即 $I(\mathbf{v})=\mathbf{v}$. 恒等算子关于任意基的矩阵是[[单位矩阵]] - $I(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ >[!example]- 恒等算子 >- $I \in L(\mathbb{R}^2)$ > - 标准基 $E=\{(1,0),(0,1)\}$ > - 基 $B=\{(4,2),(5,3)\}$ >- 恒等算子关于 $E$ 的矩阵 > - $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ >- 恒等算子关于 $E$ 和 $B$ 的矩阵, 即定义空间基为 $E$ 目标空间基为 $B$ > - $I(1,0)=\frac{3}{2}(4,2)-(5,3)=[(\frac{3}{2},-1)]_B$ > - $I(0,1)=-\frac{5}{2}(4,2)+2(5,3)=[(-\frac{5}{2},2)]_B$ > - $I = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ >- 恒等算子关于 $B$ 和 $E$ 的矩阵, 即定义空间基为 $B$ 目标空间基为 $E$ > - $I(4,2)=4(1,0)+2(0,1)=[(4,2)]_B$ > - $I(5,3)=5(1,0)+3(0,1)=[(5,3)]_B$ > - $I = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ >- $\mathbf{v}=(2,2)$ > - $[\mathbf{v}]_E=(2,2)$ > - $[\mathbf{v}]_B=(-2,2)$ > - $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ > - $\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$ > - $\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$