##### 戴德金分割法 - 戴德金分割法 - **戴德金分割法**是一种通过划分[[有理数]]来构造[[实数]]的方法, 是基于有理数的完备性扩展, 即把实数定义为一个有理数的戴德金分割. 戴德金分割将有理数集 $\mathbb{Q}$ 分割为两个非空集合 $A$ 和 $B$, 使得 $A$ 和 $B$ 的并集等于 $\mathbb{Q}$, 且 $A$ 和 $B$ 不相交, 对于 $A$ 中的任意元素 $a$ 和 $B$ 中的任意元素 $b$, 有 $a < b$, 集合 $A$ 没有最大元素. 于是, 每一个实数 $r$ 可以表示为这样一个分割 $(A_r, B_r)$, 其中 $A_r$​ 包含所有小于 $r$ 的有理数, $B_r$​ 包含所有大于或等于 $r$ 的有理数. 无理数的分割满足上述性质, 但无法对应于任何有理数. 例如用分割 $(A_{\sqrt{2}}, B_{\sqrt{2}})$ 表示无理数 $\sqrt{2}$ , 其中 $A_{\sqrt{2}}=\{x\mid x\in\mathbb{Q}\land x^2<2\}$, $B_{\sqrt{2}}=\{x\mid x\in\mathbb{Q}\land x^2\geq2\}$