##### 投影算子 - 投影算子 - **投影算子**是从[[向量空间]]映射到自身的一种[[线性算子]] $T:V\rightarrow V$, 满足 $T^2=T$, 投影算子关于任意基的矩阵是[[幂等矩阵]]. 投影空间可以[[直和分解]]为[[列空间|像空间]]和[[零空间|核空间]], 投影的作用就是保留在像空间上的分量, 抹去核空间分量, 特征值只能是 $0$ 或 $1$, 特别的 $I - T$ 也是投影算子. 若投影额外满足[[自伴算子|自伴]] $T^* = T$ 或者说[[正交补]] $\text{Im}(T) \perp \text{Ker}(T)$ 则为[[正交投影]], 否则为一般的倾斜投影. 投影算子在几何上就是[[平面投影|平行投影]] - $T^2=T$ - $V = \text{Im}(T) \oplus \text{Ker}(T)=\text{Col}(A)\oplus\text{Nul}(A)$ - $T(\mathbf{v})=\mathbf{x}$, $\mathbf{v}=\mathbf{x}+\mathbf{y}$, $\mathbf{x} \in \operatorname{Im}(T)$, $\mathbf{y} \in \text{Ker}(T)$ >[!example]- 投影算子 >- 在二维实向量空间 $\mathbb{R}^2$ 中, 考虑对角线子空间 $U = \{(x, x) \mid x \in \mathbb{R}\}$, 即直线 $y = x$, 需要构造一个投影算子 $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, 将其投影到 $U$ 上, 沿着补空间 $W = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{R}\}$ , 使得 $\mathbb{R}^2 = U \oplus W$ > - $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, 沿 $W$ 投影到 $U$, $\displaystyle P(a, b) = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2} \right)$, $\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2$ >- 考虑标准基 $\{(1, 0), (0, 1)\}$ > - $P(1, 0) = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{1+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ > - $P(0, 1) = \left( \frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ >- 因此 $P$ 相对于标准基的矩阵为： > - $[P] = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$