##### 拉普拉斯变换 - 拉普拉斯变换 - **拉普拉斯变换**是一个积分变换, 把函数从时间域映射到频率域, 可以被理解为[[傅里叶变换]]在[[复平面]]上的延拓. 设函数 $f(t)$ 满足局部可积, 即在 $[0, +\infty)$ 的任何有限子区间上可积, 并且指数有界, 即存在实数 $\sigma_0$ 和 $M > 0$, 使得 $|f(t)| \leq M e^{\sigma_0 t}$, $\forall t \geq 0$, 则 $f(t)$ 的单边拉普拉斯变换定义为 $\mathcal{L}\{f(t)\}(s)$, 其中积分下限写 $0^-$ 表示包含 $t=0$ 处的狄拉克δ函数, 上限取 $+\infty$ 表示极限意义下的广义积分, $s \in \mathbb{C}$ 为[[复数|复变量]], 该积分在收敛域 $\operatorname{Re}(s) > \sigma_0$ 内绝对收敛, 其中 $\sigma_0$ 称为收敛横坐标 - $\displaystyle\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_{0^-}^{+\infty} f(t) e^{-st} \mathrm{d}t = \lim_{T\to +\infty} \int_{0^-}^{T} f(t) e^{-st} \mathrm{d}t$