##### 拉格朗日定理 - 拉格朗日定理 - **拉格朗日定理**描述了一个[[有限群]]和它的[[子群]]的元素个数之间的关系. 若 $G$ 是有限群, $H$ 是其子群, 则 $|H|$ [[整除]] $|G|$, 而且 $\frac{|G|}{|H|}$ 是[[陪集|子群指数]] - $|G| = [G : H] \cdot |H|$ >[!example]- 拉格朗日定理 >- 群 > - $G = \mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, 在模 $6$ 加法下构成一个有限群, 阶 $|G| = 6$ >- 子群 > - $H = \{0, 3\}$, 是 $\mathbb{Z}_6$ ​ 中由 $3$ 生成的子群, 阶 $|H| = 2$ >- 拉格朗日定理 > - $|G| = 6$, $|H| = 2$ > - $[G:H] = 6 \div 2 = 3$ >- 陪集 > - $0 + H = \{0, 3\}$ > - $1 + H = \{1, 4\}$ > - $2 + H = \{2, 5\}$ >- 结论 > - 共有 $6 \div 2 = 3$ 个陪集, 符合指数 $[G:H] = 3$