##### 拓扑 - 拓扑 - **拓扑** $\mathcal{T}$ 是[[拓扑空间]] $S$ 的[[集合族|子集族]], 这些子集称为[[开集|开集]], 这组开集定义了集合中点的邻近关系, 从而刻画了空间的拓扑性质. 拓扑可以通过[[拓扑基]]描述, 可进行[[拓扑比较]]. 对于一个集合可以定义不同的满足拓扑公理的开集族, 这些开集族会形成不同的拓扑, 例如, 离散拓扑就是把集合中的每个单元素集合都作为开集, 而平凡拓扑则只有空集和整个集合作为开集, 还有特殊的序拓扑, 乘积拓扑等 - 包含空集和全集, $\emptyset,S\in \mathcal{T}$, 即空集和全集是拓扑空间的开集 - [[并集|任意并]]封闭, $\displaystyle\bigcup_{i\in I}T_i\in \mathcal{T}$, 即任意个开集的并集是开集 - [[交集|有限交]]封闭, $\displaystyle\bigcap^n_{i=1}T_i\in \mathcal{T}$, 即有限个开集的交集是开集 >[!example]- 拓扑 > - 平凡拓扑 > - 对于一个集合 $X$, 平凡拓扑是指拓扑 $\tau$ 只包含两个开集, 空集 $\emptyset$ 和全集 $X$, 即 $\tau = \{\emptyset, X\}$, 这是最粗的拓扑, 因为它包含最少的开集 > - $X={a,b,c}$, $\tau = \{\emptyset, \{a, b, c\}\}$ > - 离散拓扑 > - 对于一个集合 $X$, 离散拓扑是指将 $X$ 的所有子集都视为开集的拓扑, 即拓扑 $\tau$ 是 $X$ 的幂集 $\tau = \mathcal{P}(X)$. 离散拓扑每个点都是孤立点, 没有极限点, 所有子集都是开集, 也是闭集 > - $X={a,b,c}$, $\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$ >- 标准拓扑 > - 标准拓扑是定义在欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 上的度量拓扑, 基于欧式距离的邻域由开球生成. $U\subseteq\mathbb{R}^n$ 是开集, 当且仅当对每个点 $x \in U$, 存在一个半径 $r > 0$, 使得以 $x$ 为中心, 半径为 $r$ 的开球完全包含于 $U$ . 欧式拓扑由所有这样的开球生成