##### 指数函数 - 指数函数 - **指数函数**是基于[[指数运算]]的[[映射]], 以自变量 $x$ 为指数, 以常数 $a$ 为底数. 若底数为[[自然常数]] $e$ 则称为自然指数函数 $\exp x$. 指数函数通常定义在[[实数]]上, 也可以扩展到[[复数]], 复指数函数是[[周期函数]], 可分为实部和虚部作用, 实部 $a$ 控制函数的幅度变化影响复指数的模长, 虚部 $b$ 控制函数的旋转行为影响复指数的相位, 并且虚部部分通过[[欧拉公式]]转化为三角函数, 有[[棣莫弗公式]] - $\displaystyle f(x)=e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} =\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n$ - $f(x)=a^x=e^{x\ln a}$ - $\displaystyle f(z)=e^z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} =\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{z}{n})^n$ - $f(z)=e^z=e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$ - $f(x)=e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ | 单调性 | $a$ | 定义域 | 值域 | 示例 | | --------------- | ------------- | ------------ | ------------- | --------------------------------------------------------------------- | | [[opentext_数学_指数函数1.png\|单调递增]] | $(1,+\infty)$ | $\mathbb{R}$ | $(0,+\infty)$ | 如 $y=2^x$, $y=4^x$, $y=6^x$ | | [[opentext_数学_指数函数2.png\|单调递减]] | $(0,1)$ | $\mathbb{R}$ | $(0,+\infty)$ | 如 $y={\frac{1}{2}}^{x}$, $y={\frac{1}{4}}^{x}$, $y={\frac{1}{6}}^{x}$ | <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="指数函数" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uhfsfc88/width/640/height/480/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640" height="480" style="border:0px;"> </iframe></div>