##### 排列 - 排列 - **排列**是从 $n$ 个元素的[[集合]]中, 有顺序地抽出 $k$ 个对象, 形成一个[[序列]]的过程, 若 $k=n$ 则称为全排列, 全排列也可用[[置换]]描述, 二者概念等价. 排列数是所有排列结果的数量, 可用[[阶乘]]定义, 记为 $P_n^k$. 例如从 $\{a, b, c\}$ 中取出两个元素进行排列, 可能的结果有 $ab$, $ba$, $ac$, $ca$, $bc$, $cb$, 且 $P_3^2=6$. 如果允许元素重复, 则为[[多重集排列]]. 如果每次抽出后放回, 则为[[重复排列]]. 如果被排列的集合元素可以相互比较, 则为[[全序集排列]]. 严格来说此处排列称为线性排列, 还存在[[循环排列]] - $\displaystyle P_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $P_n^n=n!$ >[!example]- 排列数 >- $\displaystyle P_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$, $P_n^n=n!$ > - 第 $1$ 步, 在第 $1$ 个位置, 有 $n$ 种选法 > - 第 $2$ 步, 在第 $2$ 个位置, 有 $n-1$ 种选法 > - 第 $k$ 步, 在第 $k$ 个位置, 有 $n-k+1$ 种选法 > - $\displaystyle P_n^k=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)$ > - $\displaystyle P_n^k=\frac{n\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)\times(n-k)\times\cdots\times3\times2\times1}{(n-k)\times\cdots\times 3\times 2\times 1}$ > - $\displaystyle P_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ > - $\displaystyle P_n^k+kP_n^{k-1}=P_{n+1}^k$ > - $P_5^3=5\cdot4\cdot3=60$