##### 数值近似 - 数值近似 - **数值近似**是用近似数代替[[数集|精确数]]参与计算过程的过程, 通常用[[科学计数法]]表示, 例如[[浮点数]]. 当一个数 $a$ 与精确数 $A$ 略有差异, 并在计算中用来代替 $A$, 这个数 $a$ 就被称为近似数, 精确数与近似数之差称为近似误差 $\Delta a$, 可分为绝对误差 $\delta_1$ 和相对误差 $\delta_2$. 近似误差有多种来源, 主要讨论舍入误差, 运算误差, 方法误差 - $\Delta a = A - a$ - $\delta_1 = |A - a|$ - $\delta_2 = \frac{|A - a|}{|A|} = \frac{\delta_1}{|A|}$ >[!example]- 数值近似 >- 问题误差, 是问题表述中的误差, 数学模型通常是对实际现象的理想化简化, 忽略了某些复杂因素. 例如为了研究自然现象, 常假设简化条件, 这导致模型与现实之间的偏差, 称为问题误差. 此外, 若精确问题难以或无法求解, 会用一个近似问题代替, 产生方法误差 >- 残差, 是数学分析中无限过程的误差, 数学公式中的函数常以无限序列或级数表示, 许多方程的解也依赖无限过程, 但实际计算中只能在有限步骤内截断, 得到的近似解与真实解之间的偏差称为残差 >- 初始误差, 是数值参数的误差, 公式中的物理常数等参数通常只能近似确定, 这些参数的不精确性引入的误差称为初始误差 >- 舍入误差, 是计数系统相关的误差, 在十进制或其他计数系统中, 即使是有理数也可能有无限小数, 计算中只能保留有限位数, 舍去余下的部分会产生舍入误差. 例如取 $\frac{1}{3} \approx 0.333$, 误差约为 $3 \times 10^{-4}$, 多位数的有限表示也需舍入, 同样引入误差 >- 运算误差, 是近似数运算的误差, 使用近似数进行运算时, 初始数据的误差会传递到最终结果中, 产生运算误差. 这种误差在近似计算中不可避免