##### 数列极限 - 数列极限 - **数列极限**是指[[常数序列]]的[[序列极限|极限]], 是当下标趋于无穷大时, 序列所趋近的特定常数. [[上下极限]]提供了一种不依赖于单个元素的描述方式, 适用于描述整个数列的行为. 极限存在判断有[[柯西收敛准则]]和[[单调有界定理]]. 可进行[[数列极限运算|极限运算]] - 设数列 $\{a_n\}$, 若存在常数 $L$, 对于任意序列增量 $\varepsilon>0$ 不论多么小, 总存在下标 $N$, 使得当 $n>N$ 时, $|a_n-L|<ε$ 恒成立, 则称数 $L$ 是 $\{a_n\}$ 的实数序列极限, 或者称 $\{a_n\}$ 为收敛实数序列, 收敛于 $L$ , 记作 $\displaystyle \lim^{}_{n \to \infty}a_n=L$, 反之没有极限为发散实数序列 >[!example]- 数列极限 >- 证明 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}=1$ > - $\displaystyle|a_n-L|=\frac{1}{n}$ , 对任意 $\varepsilon>0$ , 为了使 $|a_n-L|<ε$ , 只要 $\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon}$ > - $\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}$ 是一个个确定的实数, 而对于任何一个实数都有无穷多个大于它的正整数存在, 所以任取一个大于 $\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}$ 的正整数作为 $N$, 就有 $|a_n-L|<ε$ 成立