##### 数学归纳法 - 数学归纳法 - 数学归纳法是一种用于证明关于正整数的一般性命题的重要工具. 它通过验证命题在初始值上成立, 并证明如果命题对某个整数 $k$ 成立, 那么它对 $k+1$ 也成立，从而推广到所有正整数. 虽然数学归纳法名字中有“归纳”, 但是并非逻辑学中的[[推理|归纳推理]], 而是属于演绎推理法, 因为演绎的前提是[[皮亚诺公理]]. 数学归纳法通常分为以下两个步骤 - 基础步骤: 证明命题对初始值 $n=1$ 成立。 - 归纳步骤: 假设命题对某个任意正整数 $k$ 成立，证明命题对 $k+1$ 也成立 > [!note]- 证明: $\displaystyle 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ >- 基础步骤: 当 $n = 1$ 时, $1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1$ 所以, 命题在 $n = 1$ 时成立 >- 归纳步骤: 假设命题对某个 $k$ 成立, 即 $1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ 需要证明命题对 $k+1$ 成立, 即 $1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$ >- 从归纳假设出发, $1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$ 将右边表达式通分, $= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$, 因此, 命题对 $k+1$ 成立, 根据数学归纳法, 命题对所有正整数 $n$ 成立