##### 整环 - 整环 - **整环**是额外满足乘法单位元并且没有[[零因子]]的[[交换环]], 整环是[[整数]]的推广, 能够更好地研究[[整除]]性质, 主要有[[唯一分解整环]], [[主理想整环]], [[欧几里得整环]]等 - $(R,+)$ 是一个[[交换群]], 满足[[结合律]], [[交换律]], [[单位元]], [[逆元]] - $(R,\cdot)$ 是一个[[幺半群|交换幺半群]], 满足[[结合律]], [[交换律]], [[单位元]] - 乘法对于加法满足[[分配律]] >[!example]- 整环 >- 整数环 $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ > - 集合, $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ > - 加法, $m + n$, 标准整数加法 > - 乘法, $m \cdot n$, 标准整数乘法 >- 性质 > - $\mathbb{Z}$ 是含幺环, 交换环, 无零因子整环, 主理想整环, 唯一分解整环 >- 整环 > - 环 ⊃ 交换环 ⊃ 整环 ⊃ 唯一分解整环 ⊃ 主理想整环 ⊃ 欧几里得整环 ⊃ 域 ⊃ 代数闭域