##### 无穷量运算 - 无穷量运算 - **无穷量运算**是在同一极限过程下[[无穷小]]和[[无穷大]]的[[运算]]和[[运算律]], 无穷小与无穷大可进行互换, 无穷小可进行比阶, 即比较它们趋近零的快慢, 在遇到不定型时需要通过其他方法计算 - 有限个无穷小的和是无穷小, 有限个无穷大的和是无穷大 - 有限个无穷小的乘积是无穷小, 有限个无穷大的乘积是无穷大 - 常数与无穷小的乘积是无穷小, 常数与无穷大的乘积是无穷大 - 有界函数与无穷小的乘积是无穷小, 有界函数与无穷大的乘积是无穷大 - $f(x)$ 无穷小, $\displaystyle\frac{1}{f(x)}$ 无穷大; $f(x)$ 无穷大, $\displaystyle\frac{1}{f(x)}$ 无穷小 - $a$ 是 $b$ 高阶无穷小 $\displaystyle\lim{\frac{a(x)}{b(x)}}=0$, 记作 $a=o(b)$ - $a$ 是 $b$ 低阶无穷小 $\displaystyle\lim{\frac{a(x)}{b(x)}}=\infty$ - $a$ 是 $b$ 同阶无穷小 $\displaystyle\lim{\frac{a(x)}{b(x)}}=c\neq0$ - $a$ 是 $b$ $k$ 阶无穷小 $\displaystyle\lim{\frac{a(x)}{b(x)^k}}=c\neq0,k>0$ - $a$ 是 $b$ 等价无穷小 $\displaystyle\lim{\frac{a(x)}{b(x)}}=1$, 记作 $a\sim b$ > [!example]- $x\rightarrow0$ 的一些等价无穷小 > - $\sin{x}\sim{x}$ > - $\tan{x}\sim{x}$ > - $\arcsin{x}\sim{x}$ > - $\arctan{x}\sim{x}$ > - $\ln(1+x)\sim x$ > - $e^x-1\sim{x}$ > - $a^x-1\sim{x\ln{a}}$ > - $1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2$ > - $(1+x)^a-1\sim{ax}$ > [!example]- 无穷小比阶 > - 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x^2)^\frac{1}{3}-1}{\cos x-1}$ > - 当 $x\to0$ 时, $\displaystyle(1+x^2)^\frac{1}{3}-1\sim\frac{1}{3}x^2$, $\cos x-1\sim-\frac{1}{2}x^2$ > - $\displaystyle\text{原式}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{3}x^2}{-\frac{1}{2}x^2}=-\frac{2}{3}$