##### 映射极限 - 映射极限 - **映射极限**是[[度量空间]]或[[拓扑空间]]中[[映射]]的值随自变量趋近某点时的行为, 是一般意义的[[函数极限]] - 设度量空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$, 映射 $f: X \to Y$, 如果对任意 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得当 $d_X(x, a) < \delta$ 时, 有 $d_Y(f(a), L) < \varepsilon$ , 这就表示, 当 $a$ 趋近于 $x$ 时, $f(a)$ 趋近于 $L$, 映射 $f$ 在点 $x \in X$ 处的极限是 $L \in Y$, 记作 $\displaystyle\lim_{a \to x} f(a) = L$ - 设拓扑空间 $(X,T_X)$ 和 $(Y,T_Y)$, 映射 $f: X \to Y$, 如果对任意 $V \in T_Y$, 存在 $U\in T_X$, 使得当 $L\in V$ 时, 有 $a\in U$ 且 $f(U\setminus\{a\})\in V$ 这就表示, 当 $a$ 趋近于 $x$ 时, $f(a)$ 趋近于 $L$, 映射 $f$ 在点 $x \in X$ 处的极限是 $L \in Y$, 记作 $\displaystyle\lim_{a \to x} f(a) = L$