##### 曲线基本定理 - 曲线基本定理 - **曲线基本定理**指出[[欧氏空间]] $\mathbb{R}^3$ 中每条曲率不为零的[[参数化曲线|正则曲线]], 其形状完全由其[[曲率]] $\kappa$ 和[[挠率]] $\tau$ 决定, 如果一对处于不同位置的曲线具有相同的曲率和挠率, 则它们彼此全等. 对于一条以[[曲线弧长]] $s$ 参数化的光滑曲线 $\mathbf{r}(s)$, 其几何形状由弗勒内-塞雷方程描述, 即弗勒内-塞雷标架 $\{ \mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B} \}$ 沿曲线随弧长 $s$ 的导数 - $\displaystyle \begin{cases}\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \mathbf{N} \\\frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B} \\\frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}\end{cases}$ - $\begin{bmatrix}\mathbf{T}'(s) \\\mathbf{N}'(s) \\\mathbf{B}'(s) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 &\kappa(s) & 0 \\-\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\0 & -\tau(s) & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{T}(s) \\\mathbf{N}(s) \\\mathbf{B}(s)\end{bmatrix}$