##### 曲线弧长 - 曲线弧长 - **曲线弧长**是指[[参数化曲线|曲线]]在某个区间内的长度. 对于一条由光滑曲线, 弧长是通过计算曲线[[切向量]]的长度并将其沿曲线展开[[积分]]得到的, 可作为[[微分元素]]. 设曲线的参数方程为 $\mathbf{r}(t)$, 则曲线的弧长 $s$ 是切向量长度与参数的积分 - $\displaystyle s = \int^{t_2}_{t_1}||\mathbf{r}'(t)||{\rm d}t=\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}z}{\text{d}t})^2}{\rm d}t$ - $\displaystyle {\rm d}s=||\mathbf{r}'(t)||{\rm d}t=\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}z}{\text{d}t})^2}{\rm d}t$ >[!example]- 曲线弧长 > - 设平面曲线的参数方程为 $\left\{\begin{matrix} x=x(t) \\ y=y(t) \end{matrix}\right.$, $t\in[t_1,t_2]$, 则曲线的弧长为 $s$ > - $\displaystyle s=\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2}\text{d}t$ > - 设平面曲线的实函数为 $y=f(x)$, $x\in[a,b]$, 则曲线的弧长为 $s$ > - $\displaystyle s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})^2}{\rm d}x$ > - 设平面曲线的极坐标为 $r=r(\theta)$, $\theta\in[\theta_1,\theta_2]$, 则曲线的弧长为 $s$ > - $\displaystyle s=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\sqrt{r^2+(\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta})^2}{\rm d}\theta$