##### 曲线弧长 - 曲线弧长 - 曲线弧长是曲线在空间中长度的度量, 对于[[平面曲线]]或[[空间曲线]], 弧长可以通过[[积分]]来计算, 可以理解为对曲线微小段长度的累加的极限, 通常需要假设曲线导数连续 - 平面曲线弧长 - 设平面曲线的[[参数方程]]为 $\left\{\begin{matrix} x=x(t) \\ y=y(t) \end{matrix}\right.$, $t\in[t_1,t_2]$, 则曲线的弧长为 $s$ - $\displaystyle s=\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2}\text{d}t$ - 设平面曲线的[[实函数]]为 $y=f(x)$, $x\in[a,b]$, 则曲线的弧长为 $s$ - $\displaystyle s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x})^2}{\rm d}x$ - $\text{d}s = \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2}$ - 设平面曲线的[[极坐标系|极坐标]]为 $r=r(\theta)$, $\theta\in[\theta_1,\theta_2]$, 则曲线的弧长为 $s$ - $\displaystyle s=\int^{\theta_2}_{\theta_1}\sqrt{r^2+(\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta})^2}{\rm d}\theta$ - 空间曲线弧长 - 设空间曲线的[[参数方程]]为 $\left\{\begin{matrix} x=x(t) \\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{matrix}\right.$, $t\in[t_1,t_2]$, 则曲线的弧长为 $s$, 是[[切向量]]长度与时间的[[积分]] - $\displaystyle s = \int^{t_2}_{t_1}||\mathbf{r}'(t)||{\rm d}t=\int^{t_2}_{t_1}\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}z}{\text{d}t})^2}{\rm d}t$ - $\displaystyle {\rm d}s=||\mathbf{r}'(t)||{\rm d}t=\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}z}{\text{d}t})^2}{\rm d}t$