##### 曲线积分 - 曲线积分 - **曲线积分**指在[[曲线]]上对一个函数进行[[积分]], 通过对函数值与[[微分元素|曲线微元]]的乘积进行累加, 从而得到在整个曲线上的累积量, 几何上可以表示曲线下曲面的绝对面积. 曲线通常使用[[参数化曲线]]定义, 而函数又可分为[[标量场]]和[[向量场]], 即第一类曲线积分和第二类曲线积分. 设光滑曲线 $C$ 由参数化 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, $t \in [a, b]$ 描述, 标量场 $f(\mathbf{x})$ 的曲线积分定义为$\int_C f\ \mathrm{d}s$, 即函数值与弧长微元乘积累加极限, 向量场 $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 的曲线积分定义为 $\int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$, 即函数值向量与切向量微元的内积累加极限. 满足[[梯度定理]], [[格林定理]], [[斯托克斯定理]] - $\displaystyle\int_C f(x,y,z)\ {\rm d}s= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i,z_i)\Delta s_i$ - $\displaystyle\int_C f(x,y,z)\ {\rm d}s= \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| {\rm d}t$ - $\displaystyle\int_C\mathbf{F}(x,y,z)\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=1}\mathbf{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\Delta\mathbf{r}_i$ - $\displaystyle\int_C\mathbf{F}(x,y,z)\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\int^{b}_{a}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t){\rm d}t$ - ![[opentext_数学_曲线积分.png|400]]