##### 曲线积分 - 曲线积分 - **曲线积分**指在曲线上对一个函数进行积分, 通过对函数值与[[曲线弧长]][[微分元素|微分]]的乘积进行求和, 从而得到在整个曲线上的累积量. 例如二元函数的曲线积分几何上可以表示曲线下曲面的绝对面积. 曲线通常使用[[参数化曲线]]定义, 而函数又可分为标量函数和向量函数, 即第一类曲线积分和第二类曲线积分 - ![[opentext_数学_曲线积分.png|400]] - 第一类曲线积分 - 令 $f$ 为定义在有限长度光滑曲线 $C$ 上的连续[[实函数|多元函数]], 那么 $f$ 沿 $C$ 的线积分为函数值与[[微分元素|弧长微分]]的乘积和 - $C: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ - $\displaystyle\int_C \; f(x,y) {\rm d}s= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i)\Delta s_i\nonumber$ - $\displaystyle\int_C \; f(x,y) {\rm d}s = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\sqrt{({x'(t))}^2+{(y'(t))}^2} {\rm d}t$ - $C: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ - $\displaystyle\int_C \; f(x,y,z) {\rm d}s= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i,z_i)\Delta s_i$ - $\displaystyle\int_C \; f(x,y,z) {\rm d}s= \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\sqrt{({x'(t))}^2+{(y'(t))}^2+{(z'(t))}^2} {\rm d}t$ - 第二类曲线积分 - 令 $\mathbf{F}$ 为定义在有限长度光滑曲线 $C$ 上的[[向量场]], 则函数值与曲线带有方向, 为函数值向量与[[微分元素|切向量微元]]的[[内积]]和. 直接关联的概念还有[[流量积分]] - $C: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ - $\displaystyle\int_C\mathbf{F}(x,y)\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=1}\mathbf{F}(x_i,y_i)\cdot\Delta\mathbf{r}_i$ - $\displaystyle\int_C\mathbf{F}(x,y)\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\int^{b}_{a}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t){\rm d}t$ - $C: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ - $\displaystyle\int_C\mathbf{F}(x,y,z)\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=1}\mathbf{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\Delta\mathbf{r}_i$ - $\displaystyle\int_C\mathbf{F}(x,y,z)\cdot{\rm d}\mathbf{r}=\int^{b}_{a}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t){\rm d}t$ - 曲线积分运算 - [[曲线积分基本定理]] - [[格林定理]] - [[斯托克斯定理]]