##### 曲面积分 - 曲面积分 - **曲面积分**指在[[曲面]]上对一个函数进行[[二重积分|积分]], 通过对函数值与[[微分元素|曲面微元]]的乘积进行累加, 从而得到在整个曲面上的累积量, 几何上可以表示曲面下空间的绝对体积. 曲面通常使用[[参数化曲面]]定义, 而函数又可分为[[标量场]]和[[向量场]], 即第一类曲面积分和第二类曲面积分. 设光滑曲面 $S$ 由参数化 $\mathbf{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$, $(u, v) \in D \subset \mathbb{R}^2$ 描述, 标量场 $f(\mathbf{x})$ 的曲面积分定义为 $\iint_S f\ {\rm d}S$, 即函数值与曲面面积微元乘积累加极限, 向量场 $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 的曲面积分定义为 $\iint_S \mathbf{F} \cdot\mathbf{N}\ {\rm d}S$, 即函数值向量与法向量微元的内积累加极限. 满足[[高斯定理]], [[斯托克斯定理]] - $\displaystyle\iint_S f(x,y,z){\rm d}S=\iint_D f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v || {\rm d}u{\rm d}v$ - $\displaystyle\iint_S \mathbf{F}(x,y,z)\cdot\mathbf{N}{\rm d}S=\iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot( \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v ) {\rm d}u{\rm d}v$ - ![[opentext_数学_曲面积分.png|400]]