##### 曲面积分 - 曲面积分 - **曲面积分**指在曲面上对一个函数进行积分, 通过对函数值与[[曲面面积]]的乘积进行求和, 从而得到在整个曲面上的累积量, 当曲面投影到平面上时, 曲面积分变为[[二重积分]]. 曲面通常使用[[参数化曲面]]定义, 而函数又可分为标量函数和向量函数, 即第一类曲面积分和第二类曲面积分 - ![[opentext_数学_曲面积分.png|400]] - 第一类曲面积分 - 令 $f$ 为定义在有限区域光滑曲面 $S$ 上的连续[[实函数|多元函数]], 那么 $f$ 沿 $S$ 的曲面积分为函数值与[[微分元素|曲面面积微分]]的乘积和 - $S:\mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+ h(u,v)\mathbf{k}$ - $\displaystyle\iint_S f(x,y,z){\rm d}S=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=1}f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$ - $\displaystyle\iint_S f(x,y,z){\rm d}S=\iint_Tf(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v || {\rm d}u{\rm d}v$ - 第二类曲面积分 - 令 $\mathbf{F}$ 为定义在有限区域光滑曲面 $S$ 上的[[向量场|向量场]], 且曲面具有单位法向量 $\mathbf{N}$ 可定向, 则为函数值向量与[[微分元素|曲面面积微分向量]]的[[内积]]和 - $S:\mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+ h(u,v)\mathbf{k}$ - $\displaystyle\iint_S \mathbf{F}(x,y,z)\cdot\mathbf{N}{\rm d}S=\iint_T\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot( \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v ) {\rm d}u{\rm d}v$ - 曲面积分运算 - [[高斯定理]] - [[斯托克斯定理]]