##### 曲面第一基本形式 - 曲面第一基本形式 - **曲面第一基本形式**是[[参数化曲面|曲面]]上的[[度量张量]], 用于描述曲面的内在几何, 即与曲面在空间中的嵌入无关的几何性质, 如距离, 角度和面积. 对于一个参数化曲面 $\mathbf{r}(u, v)$, 第一基本形式记为 $I$, 其中 $\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$, $\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ 是曲面的[[切向量]], [[矩阵]] $g$ 是是曲面的度量张量, 其[[行列式]]为 $|g|$ - $I = \mathrm{d}s^2= E \mathrm{d}u^2 + 2F \mathrm{d}u \mathrm{d}v + G \mathrm{d}v^2$ - $E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u$, $F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v$, $G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v$ - $I = \begin{bmatrix} \mathrm{d}u & \mathrm{d}v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{bmatrix}$ - $g = \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}$, $|g| = EG - F^2$