##### 曲面第二基本形式 - 曲面第二基本形式 - **曲面第二基本形式**描述[[参数化曲面|曲面]]在周围空间中的外在几何, 即曲面如何嵌入到三维空间中, 反映[[法向量]]随曲面变化的程度, 与曲面的[[曲率]]直接相关. 对于一个参数化曲面 $\mathbf{r}(u, v)$, 第二基本形式记为 $II$, 其中 $\mathbf{n}$ 是曲面的单位法向量, 而 $\mathbf{r}_{uu} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial u^2}$, $\mathbf{r}_{uv} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial u \partial v}$, $\mathbf{r}_{vv} = \frac{\partial^2 \mathbf{r}}{\partial v^2}$ 是二阶偏导数 - $II = L \mathrm{d}u^2 + 2M \mathrm{d}u \mathrm{d}v + N \mathrm{d}v^2$ - $L = \mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{uu}$, $M = \mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{uv}$, $N = \mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{vv}$ - $II = \begin{bmatrix} \mathrm{d}u & \mathrm{d}v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{bmatrix}$ - $h = \begin{bmatrix} L & M \\ M & N \end{bmatrix}$, $|h| = LN - M^2$