##### 曲面面积 - 曲面面积 - 曲面面积通过对曲面进行无限分割, 将每个小部分的面积近似为平面区域的面积, 然后通过积分求和得到整个曲面的面积 - 一般曲面 - 设光滑曲面参数方程 $\mathbf{r}(u,v) = f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+ h(u,v)\mathbf{k}$ , 曲面面积面积可以用[[二重积分]]表示, 其中[[叉积]]范数等于以两个[[切向量]]为边的平行四边形的面积, 用作近似 - $\displaystyle S = \iint_D ||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v || {\rm d}u{\rm d}v$ - $\displaystyle {\rm d}S= ||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v || {\rm d}u{\rm d}v$ - 旋转曲面 - 若曲线 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续可导, 绕 $x$ 轴旋转形成的曲面面积为 - $\displaystyle A = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \right)^2} \text{d}x$ - 若曲线由参数方程 $(x(t),y(t))$ 给出, 表面积为 - $\displaystyle A = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t) \sqrt{\left( \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\text{d}y}{\text{d}t} \right)^2} \text{d}t$ - 若曲线由极坐标方程 $r = r(\theta)$ 给出, 围绕极轴旋转生成曲面, 表面积为 - $\displaystyle A = 2\pi \int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta) \sin(\theta) \sqrt{r^2 + \left( \frac{\text{d}r}{\text{d}\theta} \right)^2} \text{d}\theta$