##### 最小多项式 - 最小多项式 - **最小多项式**是最低次数的[[首一多项式]], 满足将[[线性算子]] $T$ 代入后得到零算子 $p(T)=0$. 本质是[[算子的幂]]组合 $\{I,T^1,T^2,\dots,T^m\}$ 存在[[线性相关]], 这也是最小多项式计算的原理. 特征值即最小多项式的零点. 又[[凯莱-哈密尔顿定理]]可得最小多项式是[[特征多项式]]的因子, 但重数由[[若尔当标准形|若尔当块]]决定, 提供了更精细的结构信息 - $p(T)=T^{m}+a_{m-1}T^{m-1}+...+a_{2}T^{2}+a_{1}T^{1}+a_0I=0$, $m$ 为满足等式最小正整数 >[!example]- 最小多项式 > - $T$ 是 $\mathbb{F}^5$ 关于标准基的线性算子矩阵 > - $T =\begin{bmatrix} 0&0&0&0&-3 \\ 1&0&0&0&6 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ \end{bmatrix}$ > - 考虑 $T^{\dim V}\mathbf{v}+a_{\dim V-1}T^{\dim V-1}\mathbf{v}+...+a_{2}T^{2}\mathbf{v}+a_{1}T^{1}\mathbf{v}+a_0\mathbf{v}=0$, 取 $\mathbf{v}=\mathbf{e}_1$ > - $T^5\mathbf{e}_1+a_4T^4\mathbf{e}_1+a_3T^3\mathbf{e}_1+a_2T^2\mathbf{e}_1+aT\mathbf{e}_1+a_0\mathbf{e}_1=0$ > - $\mathbf{e}_1$ > - $T\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_2$ > - $T^2\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_3$ > - $T^3\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_4$ > - $T^4\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_5$ > - $T^5\mathbf{e}_1=-3\mathbf{e}_1+6\mathbf{e}_2$ > - 向量组 $\{\mathbf{e}_1,T\mathbf{e}_1,T^2\mathbf{e}_1,T^3\mathbf{e}_1,T^4\mathbf{e}_1\}$ 等于 $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4,\mathbf{e}_5\}$ 并且线性无关, 所以无解, 所以最小多项式为 $p(T)=T^5−6T+3$ 即 $z^5−6z+3$