##### 柯西序列法 - 柯西序列法 - **柯西序列法**使用[[有理数]]上[[柯西序列]]的极限来构造[[实数]], 是基于有理数的完备性扩展, 即把实数定义为有理数柯西序列的等价类. 有理数序列 $\{q_n\}$​ 被称为柯西序列, 如果对于任意的 $\varepsilon > 0$, 存在一个正整数 $N$, 当 $m, n > N$ 时, 满足 $|q_n - q_m| < \varepsilon$. 于是实数 $r$ 定义为一个有理数柯西序列的[[等价关系|等价类]], 因为我们可以通过柯西序列逼近一个实数, 特别是那些无法用有理数精确表示的无理数, 这种等价类的构造方法确保了实数的完备性, 即任何柯西序列都收敛到某个实数, 例如 $\sqrt{2}$ 是有理数柯西序列 $\{1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots\}$ 的极限. 再有两个柯西序列 $\{q_n\}$ 和 $\{p_n\}$ 被认为是等价的, 如果它们的差序列 $\{q_n - p_n\}$ 也趋向于 $0$, 即对所有 $\varepsilon > 0$, 存在 $N$, 使得当 $n > N$ 时, $|q_n - p_n| < \varepsilon$