##### 格 - 格 - **格**可以等价定义为[[偏序关系|偏序集]]或[[代数结构]], 二者从不同角度描述了相同的数学结构并且可以相互转化, 偏序集以序关系 $\leq$ 的角度, 而代数结构以运算 $\vee$ 和 $\wedge$ 的角度 - 格定义为偏序集 $(L,\leq)$, 其中任意两个元素 $a,b\in L$ 都有 - [[确界|上确界]], 记作 $a\vee b$, 是满足 $a\leq a\vee b$ 和 $b\leq a\vee b$ 的最小元素 - [[确界|下确界]], 记作 $a\wedge b$, 是满足 $a\wedge b\leq a$ 和 $a\wedge b\leq b$ 的最大元素 - 格定义为配备两个二元运算的代数结构 $(L,\vee,\wedge)$ , 满足 - [[交换律]], $a\vee b=b\vee a$, $a\wedge b=b\wedge a$ - [[结合律]], $(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$, $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ - 吸收律, $a\vee (a\wedge b)=a$, $a\wedge (a\vee b)=a$ - 幂等律, $a\vee a=a$, $a\wedge a=a$ - 格类 - 有界格 - 分配格 - [[布尔代数]] >[!example]- 格 >- 幂集格 $\mathcal{P}(X)$ > - 偏序集 $L = \mathcal{P}(X)$, 偏序为 $\subseteq$ > - $A \vee B = A \cup B$ 上确界是包含 $A, B$ 的最小子集 > - $A \wedge B = A \cap B$ 下确界是被 $A, B$ 包含的最大子集 > - 代数结构, 运算为 $A \vee B = A \cup B$, $A \wedge B = A \cap B$ > - 结合律, 交换律, 幂等律, 吸收律均由集合运算的性质满足 > - 存在偏序 $A \leq B \iff A \wedge B = A \iff A \cap B = A \iff A \subseteq B$ > - 两者一致