##### 格拉姆-施密特方法 - 格拉姆-施密特方法 - **格拉姆-施密特方法**是从[[内积空间]]的一个[[向量空间的基|普通基]] $\{\mathbf{x_1},...,\mathbf{x_n}\}$ 构造[[正交基]] $\{\mathbf{v_1},...,\mathbf{v_n}\}$ 的过程. 选择第一个 $\mathbf{x_1}$ 作为正交基向量 $\mathbf{v_1}$, 对于每个后续的向量进行[[正交分解]], 例如 $\mathbf{x_2}=\mathbf{c}+\mathbf{v_2}$, 即可得与第一个正交基向量垂直的向量 $\mathbf{v_2}=\mathbf{x_2}-\mathbf{c}$, $\mathbf{c}$ 就是[[正交投影|正交投影向量]]. 最后 $\{\mathbf{v_1},...,\mathbf{v_n}\}$ 就是一个正交基 - $\mathbf{v_1}=\mathbf{x_1}$ - $\displaystyle\mathbf{v_2}=\mathbf{x_2}-\frac{\langle\mathbf{x_2},\mathbf{v_1}\rangle}{||\mathbf{v_1}||^2}\mathbf{v_1}$ - $\displaystyle\mathbf{v_3}=\mathbf{x_3}-\frac{\langle\mathbf{x_3},\mathbf{v_1}\rangle}{||\mathbf{v_1}||^2}\mathbf{v_1}-\frac{\langle\mathbf{x_3},\mathbf{v_2}\rangle}{||\mathbf{v_2}||^2}\mathbf{v_2}$ - $...$ - $\displaystyle\mathbf{v_n}=\mathbf{x_n}-\frac{\langle\mathbf{x_n},\mathbf{v_1}\rangle}{||\mathbf{v_1}||^2}\mathbf{v_1}-\frac{\langle\mathbf{x_n},\mathbf{v_2}\rangle}{||\mathbf{v_2}||^2}\mathbf{v_2}-...-\frac{\langle\mathbf{x_n},\mathbf{v_{n-1}}\rangle}{||\mathbf{v_{n-1}}||^2}\mathbf{v_{n-1}}$