##### 梯度 - 梯度 - **梯度**描述[[实函数|多元函数]]在某点增长最快的方向, 梯度的大小表示在该方向上的最大变化率, 设多元函数 $y=f(\mathbf{x})$, $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$, 则 $f$ 的梯度是向量函数 $\nabla f$, 在一点 $\mathbf{x}_0$ 的梯度是以该点[[偏导数]] $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 为坐标分量. 沿某一单位向量 $\mathbf{v}$ 的[[方向导数]]是梯度与 $\mathbf{v}$ 的[[内积]], 方向导数是梯度在特定方向上的投影. [[全微分]]等于梯度作用在自变量微分上的[[线性变换]]. 函数梯度可构成[[梯度场]] - $\displaystyle \nabla f(\mathbf{x}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$ - 梯度与方向导数 $D_{\mathbf{v}}f=\nabla{f}\cdot\mathbf{v}=||\nabla{f}||\cdot||\mathbf{v}||\cdot \cos(\theta)=||\nabla{f}||\cos\theta$ - 梯度与全微分 $\displaystyle{\rm d}f=\nabla f\cdot\text{d}\mathbf{x}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d} x_i$