##### 欧拉公式 - 欧拉公式 - **欧拉公式**给出了[[指数函数|复指数函数]]与[[三角函数]]之间的关系 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$, 其中 $i$ 是虚数单位, $\theta$ 是实数角度. 欧拉公式提供了[[复数]]在[[复平面]]下的极坐标形式, 也定义了复指数函数的基本性质. 欧拉公式可通过[[泰勒级数]]获得 - $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ - $\displaystyle e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty} i \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$ - $\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ - $\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ - $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$