##### 欧氏几何 - 欧氏几何 - **欧氏几何**是基于欧几里得五条公理的几何体系, 主要研究二维平面和三维空间中的点, 线, 面等几何图形的性质和关系. [[欧氏空间]]是欧氏几何的代数框架, [[解析几何]]是欧氏几何在欧氏空间中的代数表达, 通过坐标系将几何问题转化为方程, 并且可应用到其他几何体系. 欧氏几何是[[仿射几何]]的子集, 仿射几何放宽了对距离和角度的限制, 只保留直线性和平行性. 仿射几何是[[射影几何]]的子集, 射影几何进一步抽象引入无穷远点, 只保持交叉比. **非欧几何**是通过修改欧几里得第五条平行公理发展而来的几何体系, 主要包括[[双曲几何]]和[[椭圆几何]], 双曲几何假设给定一条直线和直线外一点, 存在至少两条直线与给定直线平行, 而椭圆几何假设给定一条直线和直线外一点, 不存在与给定直线平行的直线, 即所有直线都相交. 面对几何的内在结构克莱因提出[[埃尔朗根纲领]]统一几何框架, 表示几何应该通过变换群和不变量定义 - 通过任意两点有且只有一条直线 - 任意一条线段都可以无限延长 - 可以以任意点为圆心, 任意长度为半径画一个圆 - 所有直角都相等 - 如果一条直线与两条直线相交, 并且在一侧的内角和小于两个直角, 那么这两条直线在这一侧会相交 | 性质 | 欧氏几何 | 双曲几何 | 椭圆几何 | | ------ | --------- | -------- | ------ | | 平行公设 | 存在唯一一条平行线 | 存在无数条平行线 | 不存在平行线 | | 三角形内角和 | 180 | <180 | >180 | | 空间曲率 | 零曲率, 平坦空间 | 负曲率 | 正曲率 | | 典型模型 | 平面几何 | 庞加莱圆盘模型 | 球面几何 |