##### 欧氏空间 - 欧氏空间 - **欧氏空间** $\mathbb{R}^n$ 是[[实数]]上的有限维[[内积空间]], 是具有[[实数内积]]的[[实向量空间]], 最初旨在表示物理空间, 是[[几何基础|欧氏几何]]的基本空间, 可以建立[[仿射坐标系|坐标系]]来分析, 具有[[范数|欧氏范数]], [[度量|欧氏距离]], [[拓扑|欧氏拓扑]]和[[勒贝格测度]], 特别对于 $\mathbb{R}^3$ [[几何向量]]定义了[[叉积]], [[双重叉积]], [[混合积]], 更进一步欧氏空间是[[流形]]和[[希尔伯特空间]]的基本原型 - $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n$ - $\| \mathbf{x} \| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ - $\text{dist}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}$ - $\mathcal{T} = \{ U \subseteq \mathbb{R}^n \mid \forall \mathbf{x} \in U, \exists \varepsilon > 0, B(\mathbf{x},\varepsilon) \subseteq U \}$