##### 正交分解 - 正交分解 - **正交分解**将[[内积空间]]中一个向量 $\mathbf{a}$ 分解为两个[[正交]]向量之和 $\mathbf{a}=\mathbf{b_1}+\mathbf{b_2}$, 并且分别属于两个互相[[正交补|正交]]的[[子空间]], $\mathbf{b_1}\in W$, $\mathbf{b_2}\in W^\perp$. 其中 $\mathbf{b_1}=\text{proj}_W\mathbf{a}$ 称为 $\mathbf{a}$ 在 $W$ 上的[[正交投影|正交投影向量]], 对于 $W$ 的[[正交基]] $\{\mathbf{w_1},...,\mathbf{w_n}\}$ , 有线性组合 - $\mathbf{b_1}=c_1\mathbf{w_1}+...+c_n\mathbf{w_n}$, $\displaystyle c_i=\frac{\langle\mathbf{b_1},\mathbf{w_i}\rangle}{\langle\mathbf{w_i},\mathbf{w_i}\rangle}$ >[!example]- 正交分解 >- $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1&2&3\end{bmatrix}^T$, $\mathbf{b_1}=\begin{bmatrix} -0.4&2&0.2\end{bmatrix}^T$, $\mathbf{b_2}=\begin{bmatrix} 1.4&0&2.8\end{bmatrix}^T$ >- $\mathbf{a}=\mathbf{b_1}+\mathbf{b_2}$ >- $\mathbf{b_1}\in{\rm Span}\{\mathbf{w_1},\mathbf{w_2}\}$ >- ![[opentext_数学_正交分解.png]]