##### 正交基 - 正交基 - **正交基**是指[[内积空间]]中不含零向量的[[正交组|正交集]]作为[[向量空间的基|基]]. **标准正交基**是[[单位向量]]构成的正交集, 最简单的标准正交基是标准基 $\{\mathbf{e_1},...,\mathbf{e_n}\}$. 可以使用[[格拉姆-施密特方法]]构造正交基. 向量在正交基下的[[向量空间的坐标系|坐标]]就是在各个基向量上[[正交投影|正交投影向量]]的长度, 假设 $\{\mathbf{b_1},...,\mathbf{b_n}\}$ 是内积空间 $V$ 的正交基, 对 $V$ 中的每个向量 $\mathbf{a}$ 有[[线性组合]] $\mathbf{a}=c_1\mathbf{b_1}+...+c_n\mathbf{b_n}$, 且系数为 $\displaystyle c_n=\frac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b_n}\rangle}{\langle\mathbf{b_n},\mathbf{b_n}\rangle}$, 也就是向量在正交基下的坐标 - $\mathcal{B}=\{\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},...,\mathbf{b_n}\}$, $\langle\mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\rangle=0$, $i\neq j$ >[!example]- 正交基 >- 在欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中, 最常见的正交基是标准正交基 > - $e_1 = (1,0,0,\dots,0)$, $e_2 = (0,1,0,\dots,0)$, $\dots$, $e_n = (0,0,0,\dots,1)$ > - $e_i \cdot e_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$ >- 在 $[−L,L]$ 上的平方可积函数空间 $L^2([-L, L])$ 中, 有三角函数基和复指数函数基 > - $\displaystyle\{1, \cos(\frac{n\pi x}{L}), \sin(\frac{n\pi x}{L}) \}_{n=1}^{\infty}$ > - $\displaystyle\int_{-L}^{L} \cos(n\pi x / L) \cos(m\pi x / L) dx = 0$, $(n \neq m)$ > - $\displaystyle\left\{ e^{i n \frac{\pi x}{L}} \right\}_{n=-\infty}^{\infty}$ > - $\displaystyle\int_{-L}^{L} e^{i n \frac{\pi x}{L}} e^{-i m \frac{\pi x}{L}} dx = 0$, $(n \neq m)$