##### 正交投影 - 正交投影 - **正交投影**是指将一个[[内积空间]]向量投影到一个[[子空间]]上, 使得投影后的向量与原向量之间的距离最小. 正交投影是[[正交分解]]的映射作用视角. 设内积空间 $V$ 及其子空间 $W$, 对于任意向量 $\mathbf{v}\in V$, 其在 $W$ 上的**正交投影向量** $\text{proj}_W​\mathbf{v}$ 是 $W$ 中唯一的向量, 使得 $\mathbf{v} - \text{proj}_W​\mathbf{v}$ 与任意向量 $\mathbf{w}\in W$ 都[[正交]], 同时 $\text{proj}_W​\mathbf{v}$ 也是子空间 $W$ 上与 $\mathbf{v}$ [[内积空间到子空间的最短距离|距离最近]]的点. **正交投影变换**是一个[[线性算子]] $P\in L(V)$ , $P(\mathbf{v})=\text{proj}_W​\mathbf{v}$, 即将向量映射到子空间上的正交投影向量. 正交投影变换还可定义为零空间和值域相互正交的[[投影算子]]. 可以由 $W$ 的正交基构造[[正交投影的矩阵]] - $\displaystyle P(\mathbf{v})=\text{proj}_W​\mathbf{v}= \sum_{i=1}^k c_i \mathbf{w}_i$, $\displaystyle c_i=\frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{w}_i \rangle}{\langle \mathbf{w}_i, \mathbf{w}_i \rangle}$ - 像空间为 $U$ , 对每个 $\mathbf{u}\in U$, 都有 $P\mathbf{u}=\mathbf{u}$ - 核空间为 $U^\perp$, 对每个 $\mathbf{w}\in U^\perp$, 都有 $P\mathbf{w}=\mathbf{0}$ - $P^2=P$ 两次投影等于进行一次投影 - $P^T=P$ 正交投影矩阵是对称的 >[!example]- 正交投影 >- $\mathbb{R}^2$ > - 向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ 投影到由单位向量 $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 张成的一维子空间 $W$ 上, 即 x 轴 > - $\displaystyle P=\frac{\mathbf{w_1}\mathbf{w_1}^T}{\langle\mathbf{w_1},\mathbf{w_1}\rangle}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ > - 这个矩阵将任何二维向量投影到 x 轴上 > - $P\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$