##### 正交特征值分解 - 正交特征值分解 - **正交特征值分解**又称谱分解指[[方阵]] $A$ 分解为以[[特征值和特征向量|特征值]]为对角线元素的[[对角矩阵]] $D$ 和以[[特征值和特征向量|特征向量]]为列向量的[[正交矩阵]]或者[[酉矩阵]] $P$, 即 $A=PDP^*$. 适用于[[可正交对角化矩阵]]. 可谱分解为一组特征值与特征向量的乘积 - $P=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}&\cdots&\mathbf{a_n}\end{bmatrix}$ 酉矩阵, 以特征向量为列向量 - $D=\text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 对角矩阵, 以特征值为对角线元素 - $P^*=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}&\cdots&\mathbf{a_n}\end{bmatrix}^*$ 共轭转置 - $\displaystyle A=PDP^*=\lambda_1\mathbf{a_1}\mathbf{a_1}^*+\lambda_2\mathbf{a_2}\mathbf{a_2}^*+\cdots+\lambda_n\mathbf{a_n}\mathbf{a_n}^*=\sum^{n}_{i=1}\lambda_i\mathbf{a_i}\mathbf{a_i}$ - $A=PDP^*=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}&\cdots&\mathbf{a_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1& &\\&\ddots &\\& &\lambda_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}^*\\\vdots\\\mathbf{a_n}^*\end{bmatrix}$ >[!example]- 特征值分解 >- 特征值分解 > - $\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&1\\1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=2$, $\mathbf{v}_1=(-\frac{1}{2},1)$ > - $\lambda_2=5$, $\mathbf{v}_2=(1,1)$ >- 正交特征值分解 > - $\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$ > - $\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}^T+3\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}^T$ > - $\lambda_1=1$, $\mathbf{v}_1=(-1,1)$ > - $\lambda_2=3$, $\mathbf{v}_2=(1,1)$