##### 正交矩阵 - 正交矩阵 - **正交矩阵** $A$ 是指[[矩阵转置]]等于[[可逆矩阵|逆矩阵]]的[[方阵]], 由定义可得列向量两两[[正交]]行向量两两正交, 其行列向量组都是[[正交组|标准正交组]] - $A^{-1}=A^T \iff AA^T=A^TA=I$ - $A^TA = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ - $A^TA = \begin{bmatrix} \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_1 \rangle & \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_n \rangle \\ \langle \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_1 \rangle & \langle \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle \mathbf{a}_n, \mathbf{a}_1 \rangle & \langle \mathbf{a}_n, \mathbf{a}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{a}_n, \mathbf{a}_n \rangle \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$ >[!example]- 正交矩阵 > - 正交且对称 > - $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $A=A^{-1}=A^T$