##### 正规子群 - 正规子群 - **正规子群**是连接[[群]]与[[商群]]的[[子群]], 其核心是在共轭作用下保持不变, 或者说其左右[[陪集]]相等. 特别的[[交换群]]的所有子群都是正规子群. 设 $H$ 是群 $G$ 的子群, 如果对于任意的 $g \in G$ 和 $h \in H$, 都有 $g h g^{-1} \in H$, 那么 $H$ 就是 $G$ 的正规子群, 记作 $H \triangleleft G$. - $\displaystyle H\triangleleft G \Leftrightarrow \forall h\in {H}, \forall g \in {G}\ ,ghg^{-1}\in {H}$ - $gH=Hg$ >[!example]- 正规子群 >- 群 $G = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ , 运算为模 $6$ 加法 > - 子集 $H = \{ 0, 3 \}$ > - 验证子群 > - 封闭性 $3 + 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$, $0 + 0 = 0$ > - 单位元 $0 \in H$ > - 逆元 $3$ 的逆元是 $3 + 3 = 0 \pmod 6$ > - 结论 $H$ 是子群 > - 验证正规子群 > - 由于 $G$ 是阿贝尔群, 运算满足交换律, 对任意 $g \in G$, $g + h + (-g) = h$ > - 因此 $g + H + (-g) = H$, 即 $g H g^{-1} = H$ > - 或者左陪集 $g + H = H + g$, 因为加法交换 > - 结论 $H = \{ 0, 3 \}$ 是正规子群 > - 商群 $G/H = \{ H, 1+H, 2+H \}$ 其中 $1+H = \{ 1, 4 \}$, $2+H = \{ 2, 5 \}$ 商群同构于 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$