##### 泰勒公式 - 泰勒公式 - **泰勒公式**将函数表示成泰勒多项式与余项的和. 泰勒多项式是泰勒级数的有限项截断, 即将泰勒级数的前 $n$ 项取出形成一个多项式, 用来近似函数, 而剩余的称为余项, 是对用泰勒多项式逼近函数精确程度的度量, 余项有两种形式 - $\displaystyle f(x)=P_N(x)+R_N(x)$ , $\text{函数=N阶泰勒多项式+N阶余项}$ - 泰勒多项式 - $\displaystyle P_N(x)=\sum^{N}_{n=0}\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ - 泰勒中值定理1 - $\displaystyle R_N(x)=o((x-x_0)^N)$ - 如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $a$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$ 有**佩亚诺余项的泰勒公式**, 余项是 $x\to a$ 时比 $(x-x_0)^N$ 高阶的无穷小 - 泰勒中值定理2 - $\displaystyle R_N(x)=\frac{f^{N+1}(c)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}$, $\text{c是a与x之间某个值}$ - 如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 处具有 $n+1$ 阶导数，那么存在 $a$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$ 有**拉格朗日余项的泰勒公式**, 提供余项的误差范围