##### 泰勒公式 - 泰勒公式 - **泰勒公式**是[[泰勒级数]]的有限阶近似公式, 可进行误差控制. 泰勒公式将函数写成泰勒多项式与余项的和, 其中泰勒多项式是泰勒级数的有限项截断, 即将泰勒级数的前 $N$ 项取出形成一个多项式, 用来近似函数, 而剩余的称为余项, 是对用泰勒多项式逼近函数精确程度的度量, 余项主要有三种形式 - $\displaystyle f(x)=P_N(x)+R_N(x)$, $\displaystyle P_N(x)=\sum^{N}_{n=0}\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ - 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近具有 $N+1$ 阶连续导数, 则可用泰勒多项式 $P_N(x)$ 近似, 其中 $R_N(x)$ 是余项, 表示表示泰勒多项式与实际函数值之间的误差, 当 $N \to \infty$, $R_N(x)\to 0$, 就得到泰勒级数 - $\displaystyle R_N(x)=o((x-x_0)^N)$ - 皮亚诺余项, 是 $x\to a$ 时比 $(x-x_0)^N$ 高阶的[[无穷小]], 强调误差量级, 而不关心具体系数 用于极限和渐近分析 - $\displaystyle R_N(x)=\frac{f^{N+1}(c)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}$, $c\in(a,x)$ - 拉格朗日余项, 是泰勒公式余项的一种精确形式, 通过函数的高阶导数来表达误差, 提供余项的误差范围 - $\displaystyle R_n(x) = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \, dt$ - 积分余项, 是泰勒公式余项的一种精确形式, 通过函数导数的积分来表达误差, 提供余项的误差范围