##### 泰勒级数 - 泰勒级数 - **泰勒级数**是特殊的[[幂级数]], 其系数从[[导数]]构造, 即[[幂级数展开]]. 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$​ 处有任意阶导数, 则泰勒级数定义为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$, 其中 $f^{(n)}(x_0)$ 表示 $f(x)$ 在 $x_0$​ 处的 $n$ 阶导数, $n!$ 为阶乘. 当 $x_0=0$ 时称为麦克劳林级数. [[泰勒展开式]]是将函数写成泰勒级数的形式. [[泰勒公式]]将函数表示成泰勒多项式与余项的和 - $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = \displaystyle f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$ - $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(0)}{n!}(x)^n = f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x)+\frac{f''(0)}{2!}(x)^2+\cdots+\frac{f^n(0)}{n!}(x)^n+\cdots$ > [!example]- 泰勒级数 > - 求函数 $f(x)=\cos{x}$ 的泰勒级数, 并验证级数在整个数轴上收敛于 $f(x)$ > - $x_0$ 处 $n$ 阶导数 > - $\displaystyle f^{(n)}(x_0)=\cos(x_0+n\cdot\frac{\pi}{2})$ > - 泰勒级数 > - $\displaystyle\cos{x_0}+\cos{(x_0+\frac{\pi}{2})}(x-x_0)+\frac{\cos{(x_0+\pi)}}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{\cos{(x_0+\frac{n\pi}{2})}}{n!}(x-x_0)^n+...$ > - 对 $x\in(-\infty,\infty)$ 有余项 > - $\displaystyle R_n(x)=\frac{\cos{(c+\frac{(n+1)\pi}{2})}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ > - $\displaystyle |R_n(x)| \leq \frac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}$ > - $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}=0$ > - $\displaystyle \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0$ > - 所以整个数轴有 > - $\displaystyle f(x) = \cos{x_0}+\cos{(x_0+\frac{\pi}{2})}(x-x_0)+\frac{\cos{(x_0+\pi)}}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{\cos{(x_0+\frac{n\pi}{2})}}{n!}(x-x_0)^n+...$ > - $x_0=0$ 时 > - $\displaystyle f(x) = x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$