##### 满射线性变换 - 满射线性变换 - **满射线性变换**是指[[线性变换]]为[[映射|满射]], 当且仅当值域为陪域, 在[[矩阵变换]]中就是[[矩阵的秩|行满秩]]矩阵. 若满射, 则 $\dim V\geq \dim W$ >[!example]- 3维到2维矩阵变换示例 >- $T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2$, $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1}&\mathbf{a_2}&\mathbf{a_3}\end{bmatrix}$ > - 定义域 $\mathbb{R}^3$ | [[零空间]] ${\rm Nul} A=\{c\mathbf{a}\mid c\in\mathbb{R},\mathbf{a}=(-1,-1,1)\}$ > - 陪域 $\mathbb{R}^2$ | 值域([[列空间]]) ${\rm Col} A=\mathbb{R}^2$ > - ![[opentext_数学_满射线性变换.png|400]] > - $T(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}$, $T(\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}$ > - 定义域是 $\mathbb{R}^3$, 定义域中能映射成陪域中 $\mathbf{0}$ 的是一条 $\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}$ 张成的直线 > - 陪域是 $\mathbb{R}^2$, 值域也张成 $\mathbb{R}^2$ , 显然满射不是单射