##### 特征值和广义特征向量 - 特征值和广义特征向量 - **广义特征向量**是比[[特征值和特征向量|特征向量]]更一般化的概念, 在特征向量不足为基的时候引入. 设[[线性算子]] $T: V \to V$, $\lambda$ 是 $T$ 的特征值, 如果非零向量 $\mathbf{v}$ 对某个正整数 $k$ 有 $(T-\lambda I)^k\mathbf{v}=\mathbf{0}$, $(T-\lambda I)^{k-1}\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$, 则称向量 $\mathbf{v}$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的第 $k$ 阶广义特征向量. 显然特征向量就是 $k=1$ 时的广义特征向量. 具有相同特征值 $\lambda$ 的广义特征向量张成[[广义特征空间]], 互异特征值对应的广义特征向量之间[[线性相关|线性无关]] - $(T-\lambda I)^k\mathbf{v}=\mathbf{0}$, $(T-\lambda I)^{k-1}\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$, $k\geq 1$ - $(T-\lambda I)^{\dim V}\mathbf{v}=\mathbf{0}$ >[!example]- 广义特征向量 >- 两个特征值都相同, 只有一个线性无关的特征向量, 不可对角化 > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=2$, $\mathbf{v}_1=(0,1)$