##### 特征值和特征向量 - 特征值和特征向量 - **特征值**表示[[线性算子]]作用在特定方向上的缩放比例, **特征向量**表示这些在算子中保持不变的方向. 通过它们可以将算子分解为一系列简单的伸缩操作, 每个操作都在特征向量所指示的方向上按照对应的特征值进行伸缩. 设线性算子 $T: V \to V$, 对于数 $\lambda\in\mathbb{F}$, 若存在非零向量 $\mathbf{v}\in V$ 使得 $T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\iff (T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$, 则称 $\lambda$ 为 $T$ 的特征值, 向量 $\mathbf{v}$ 是 $T$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量. 特征值个数不多于向量空间的维数. 特征值 $\lambda$ 重复出现的次数称为[[特征值的重数]]. 具有相同特征值 $\lambda$ 的特征向量张成[[特征空间]], 互异特征值对应的特征向量之间[[线性相关|线性无关]]. 不可逆算子有[[线性相关|零特征值]] - $(T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ - 特征向量性质与条件 - [[特征多项式]] - [[最小多项式]] - [[算子的迹]] - [[算子的行列式]] >[!example]- 特征值和特征向量 >- **三个不同的实特征值** > - $T = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ > - 三个不同的实特征值, 有三个线性无关的特征向量, 可对角化 > - $-(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)=0$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_1=(-1,0,1)$ > - $\lambda_2=3$ $\mathbf{v}_2=(-1,1,0)$ > - $\lambda_3=4$ $\mathbf{v}_3=(1,0,0)$ >- **一个实特征值和一对共轭复特征值** > - $T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & i & -i \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ > - 一个实特征值和一对共轭复特征值, 有三个线性无关的特征向量, 可对角化 > - $-(\lambda-1)(\lambda-i)(\lambda+i)=0$ > - $\lambda_1=1$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $\lambda_2=i$ $\mathbf{v}_2=(0,i,1)$ > - $\lambda_3=-i$ $\mathbf{v}_3=(0,-i,1)$ >- **一个实特征值代数重数为 2 和一个实特征值代数重数为 1** > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - 代数重数为 2 的实特征值几何重数为 2, 代数重数为 1 的实特征值几何重数为 1, 可对角化 > - $-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-3)=0$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_2=(0,1,0)$ > - $\lambda_2=3$ $\mathbf{v}_3=(0,0,1)$ > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - 代数重数为 2 的实特征值几何重数为 1, 代数重数为 1 的实特征值几何重数为 1, 可若尔当化 > - $-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-3)=0$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $\lambda_2=3$ $\mathbf{v}_2=(0,0,1)$ >- **一个实特征值代数重数为 3** > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - 一个实特征值, 代数重数为 3, 几何重数为 1, 可若尔当化 > - $-(\lambda-2)^3=0$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - 一个实特征值, 代数重数为 3, 几何重数为 2, 可若尔当化 > - $-(\lambda-2)^3=0$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_2=(0,0,1)$ > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ > - 一个实特征值, 代数重数为 3, 几何重数为 3, 可对角化 > - $-(\lambda-2)^3=0$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_1=(1,0,0)$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_2=(0,0,1)$ > - $\lambda_1=2$ $\mathbf{v}_2=(0,0,1)$