##### 特征多项式 - 特征多项式 - **特征多项式**是描述[[线性算子]]所有[[特征值和特征向量|特征值]]的[[多项式]], 并且与[[算子的行列式|行列式]]相关. 其中 $\lambda_i$ 表示互异的特征值也就是特征多项式的根, 而 $d_i$ 表示对应的[[特征值的重数|代数重数]]. 非零有限维复向量空间上的每个算子都有特征值, 因为复系数特征多项式总有根, 奇数维的实向量空间上的算子都有特征值, 因为实系数奇次多项式总有实根. 特别的[[三角矩阵]]对角线元素是它的特征值. [[凯莱-哈密尔顿定理]]表明每个算子都满足它自己的特征多项式. - $p​(z)=\det(T−z I)=(z-\lambda_1)^{d_1}(z-\lambda_2)^{d_2}\cdots(z-\lambda_n)^{d_n}$ >[!example]- 特征多项式 > - 设算子的矩阵表示 > - $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ > - 计算特征多项式 > - $\lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 \\ -3 & \lambda - 4 \end{bmatrix}$ > - 行列式为 > - $\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 4) - (-2)(-3) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2$ > - 特征多项式为 > - $p_A(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2$ > - 特征值为 > - $\displaystyle\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$