##### 特征空间 - 特征空间 - **特征空间** $E(\lambda, T)$ 是[[线性算子]] $T$ 在[[特征值和特征向量|特征值]] $\lambda$ 下的[[不变子空间]], 由零向量 $\mathbf{0}$ 和相应的特征向量 $\mathbf{v}$ 构成, 是特征向量的[[张成空间]], 特征空间的维数称为特征值的[[特征值的重数|几何重数]], 互异特征值对应的特征空间之和是[[子空间的直和]] - $E(\lambda,T)=\{\mathbf{v}\mid (T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} ,\mathbf{v}\in V\}=\text{Nul}(T-\lambda I)$ >[!example]- 特征空间 >- 有两个不同的特征值, 且每个特征值都有一个对应的线性无关特征向量, 可对角化 > - $T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=-2$, $\mathbf{v}_1=(-\frac{2}{3},1)$ > - $\lambda_2=3$, $\mathbf{v}_2=(1,1)$ >- 两个特征值都相同, 只有一个线性无关的特征向量, 不可对角化 > - $T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=2$, $\mathbf{v}_1=(0,1)$ >- 两个特征值都相同, 有两个线性无关的特征向量, 可对角化 > - $T = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ > - $\lambda_1=3$, $\mathbf{v}_1=(1,0)$ > - $\lambda_2=3$, $\mathbf{v}_1=(0,1)$