##### 特殊的行列式 - 特殊的行列式 - **特殊的行列式**是指一些[[矩阵]]或相应[[线性算子]]的[[行列式]]可以推理出简便的计算性质, 包括[[单位矩阵]], [[三角矩阵]], [[对角矩阵]], [[分块对角矩阵]], [[正交矩阵]], 范德蒙矩阵等 - 单位矩阵 - $\det(I_n) = 1$ - 正交矩阵 - $\det(A) = \pm 1$ - 三角矩阵 - $\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$ - 对角矩阵 - $\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$ - 分块对角矩阵 - $\det(A) = \det(A_1) \det(A_2) \cdots \det(A_k)$ - 范德蒙矩阵 - $\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\\end{vmatrix}$ - $=(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})\cdots(x_n-x_1)$ - $\times(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})\cdots(x_{n-1}-x_1)$ - $\times\cdots$ - $\times(x_2-x_1)$ - 特殊对称矩阵 - $\begin{vmatrix}x&a&\cdots&a\\a&x&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a&a&\cdots&x\\\end{vmatrix}=(x-1)^{n-1}[x+(n-1)a]$ >[!example]- 特殊矩阵的行列式 > - $\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}=(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)=12$