##### 环 - 环 - **环**是配有两个[[运算|二元运算]]的[[代数结构]] $(R,+,\cdot)$. 它抽象化了诸如[[整数]], [[有理数]], [[实数]], [[复数]], [[多项式]], [[矩阵]]等对象. 环的子集称为[[子环]], 环的商集称为[[商环]]. 还有[[环同态]]等概念 - $(R,+)$ 是一个[[交换群]], 满足[[结合律]], [[交换律]], [[单位元]], [[逆元]] - $(R,\cdot)$ 是一个[[半群]], 满足[[结合律]] - 乘法对于加法满足[[分配律]] - 环类 - [[半环]] - [[含幺环]] - [[交换环]] - [[整环]] - [[除环]] - [[域]] >[!example]- 环 >- 整数环 $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ > - 集合, $\mathbb{Z}=\{\dots,−2,−1,0,1,2,\dots\}$ > - 运算, 普通加法 $+$, 普通乘法 $\cdot$ > - 性质, 整环 >- 有理数环 $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ > - 集合, $\displaystyle\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}\mid m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{Z},n\neq0\}$ > - 运算, 普通加法 $+$, 普通乘法 $\cdot$ > - 性质, 域 >- 模 $n$ 整数环 $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ > - 集合, $\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n-1\}$ > - 运算, 模 $n$ 加法与乘法 > - 性质, 当 $n$ 是素数时 $\mathbb{Z}_n$​ 是域, 否则只是环 >- 多项式环 $(\mathbb{Z}[x], +, \cdot)$ > - 集合, $\mathbb{Z}[x]$ > - 运算, 多项式加法与乘法 > - 性质, 整环 >- 矩阵环 $(M_n(R), +, \cdot)$ > - 集合, $M_n(R)$ > - 运算, 矩阵加法与乘法 > - 性质, 含幺环