##### 环同态 - 环同态 - **环同态**指[[环]]的[[同态]], 它保持了环运算的结构, 即映射后的元素与原环元素进行运算时的关系与原环相同. 设 $(R, +, \cdot)$ 和 $(S, +, \cdot)$ 是两个环, $\varphi: R \to S$ 是一个映射, 如果任意 $a, b \in R$, 有 $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$, $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$, 那么 $\varphi$ 就是一个环同态, 并且核是 $R$ 中所有映射到 $S$ 的加法单位元的元素集合, 也是[[环理想]], 像是 $S$ 中所有由 $R$ 的元素通过 $\varphi$ 映射得到的元素集合, 也是[[子环]]. 同样有环同构等 - $\varphi: R \to S$ - $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$, $\forall a, b \in R$ - $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$, $\forall a, b \in R$ - 核 $\ker(\varphi) = \{ r \in R \mid \varphi(r) = 0_S \}$ - 像 $\text{im}(\varphi) = \{ s \in S \mid \exists r \in R, \varphi(r) = s \}$