##### 环理想 - 环理想 - **环理想**是[[环]]一种特殊的[[子集]], 具体说是一个[[子群|加法子群]], 它不仅在加法下封闭, 还能吸收来自整个环的乘法, 可以连接[[环]]与[[商环]]. 设环 $R$ 及其子集 $I$ , 如果 $\forall r \in R, a \in I$, 都有 $r \cdot a \in I$ 或 $a \cdot r \in I$, 那么 $I$ 就是 $R$ 的左理想或右理想, 如果一个子集同时是左右理想则称为双边理想, 简称理想, [[交换环]]中左右理想自动一致. 特别的, [[主理想]]是由环单一元素生成的理想, [[极大理想]]是按包含关系最大的真理想, [[素理想]]是满足特殊乘积条件的理想 - $(I, +)$ 是环 $R$ 加法交换群的子群 - 左理想, $r \cdot a \in I$, $\forall r \in R, a \in I$ - 右理想, $a \cdot r \in I$, $\forall r \in R, a \in I$ >[!example]- 环理想 >- 环, $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$, 加法单位元为 $0$, 乘法单位元为 $1$, 是交换环, 整环, 主理想整环 >- 理想示例, $6\mathbb{Z} = \{ 6k \mid k \in \mathbb{Z} \} = \{ \ldots, -12, -6, 0, 6, 12, \ldots \}$ > - 加法封闭性, 对于 $6m, 6n \in 6\mathbb{Z}$, $6m + 6n = 6(m + n) \in 6\mathbb{Z}$ > - 加法单位元, $0 = 6 \cdot 0 \in 6\mathbb{Z}$ > - 加法逆元, 对于 $6k \in 6\mathbb{Z}$, $-6k = 6(-k) \in 6\mathbb{Z}$ > - 吸收性, 对于 $r \in \mathbb{Z}$, $6k \in 6\mathbb{Z}$, 有 $r \cdot 6k = 6(rk) \in 6\mathbb{Z}$ >- 性质 > - $6\mathbb{Z}$ 是主理想, 由 $6$ 生成 > - 非极大理想, 因 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} = \{ [0], [1], [2], [3], [4], [5] \}$ 有零因子, 如 $[2] \cdot [3] = [0]$, 不是域 > - 非素理想, 因 $2 \cdot 3 = 6 \in 6\mathbb{Z}$, 但 $2, 3 \notin 6\mathbb{Z}$ >- 商环, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, 模 $6$ 整数环, 元素为 $\{ [0], [1], \ldots, [5] \}$