##### 生成函数 - 生成函数 - **生成函数**是指通过[[幂级数]]将[[序列]]转化为[[映射|函数]]形式, 从而简化问题的分析和求解, 被认为是形式幂级数所以就不需要考虑它的收敛性. 对于一个数列 $\{a_n\}$, 它的生成函数 $G(x)$ 通常定义为一个幂级数, 核心思想是将数列的每一项 $a_n$​ 对应到幂级数的系数上. 主要包括普通生成函数, 指数型生成函数, 还有特殊的狄利克雷生成函数 - $\{a_n\}=a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$ - $\displaystyle G(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ - $\displaystyle G(x) = a_0 + a_1 \frac{x}{1!} + a_2 \frac{x^2}{2!} + a_3 \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}$ >[!example]- 生成函数 > - 常数列 $a_n = 1$, $\displaystyle\sum x^n = \frac{1}{1 - x}$ > - 等差数列 $a_n = n$, $\displaystyle\sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}$ > - 几何数列 $a_n = r^n$, $\displaystyle\sum r^n x^n = \frac{1}{1 - rx}$ > - 斐波那契数列 $\displaystyle\sum F_n x^n = \frac{x}{1 - x - x^2}$