##### 界 - 界 - **界**是指[[偏序关系|偏序集]]中两个称为上界和下界的[[集合]], 其中所有元素都按序关系大于或小于某个集合, 界中的[[最值]]称为[[确界]], 偏序集有界称为[[有界集]]. 设 $(A,\leq)$ 为一个偏序集, 若存在 $u\in A$, 满足对任意 $x\in B\subseteq A$ 都有 $x\leq u$, 则称 $u$ 为集合 $B$ 的上界; 若存在 $l\in A$, 满足对任意 $x\in B\subseteq A$ 都有 $x\geq l$, 则称 $l$ 为集合 $B$ 的下界, 显然上下界不唯一 - $u\in A$, $\forall x\in B\subseteq A$, $x\leq u$, 则称 $u$ 为集合 $B$ 的上界 - $l\in A$, $\forall x\in B\subseteq A$, $x\geq l$, 则称 $l$ 为集合 $B$ 的下界 > [!example]- 界 >- 实数集合 $S = \{1, 2, 3\}$ > - 上界 $[3,+\infty)$, 上确界或最小上界 $3$ > - 下界 $(-\infty,1]$, 下确界或最大下界 $1$