##### 留数 - 留数 - **留数**就是描述[[解析函数]]在[[奇点]]处局部特征的一个[[复数]], 衡量函数在孤立奇点附近的旋转量或环绕贡献. 设 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的环形区域内解析, 可以展开成[[洛朗级数]] $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$, 其中$(z - z_0)^{-1}$ 项的系数 $a_{-1}$ 就是留数, 记作 $\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}$ - $\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$ - $\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}$ - $\displaystyle \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z)\text{d}z$ - $\displaystyle \operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$ - $\operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]$